Soal matematika yang akan kita diskusikan adalah soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten Samosir tahun 2019 dan soal ini dibuat oleh Surya Institute.
Untuk menjadi yang terbaik dalam Olimpiade Sains Nasional (OSN) baik dalam bidang mapel matematika atau bidang lainnya motivasi saja tidak cukup. Harus didukung oleh usaha, niat dan kemampuan dalam mengusai konsep-konsep dalam matematika. Untuk bisa mengusai konsep, teorema-teorema atau trik dalam mengerjakan soal-soal olimpiade tidak bisa diperoleh secara instan, harus dipersiapkan sedikit demi sedikit dan ditambahkan bumbu sabar di setiap usaha mengerjakan soal.
Soal-soal yang diujikan pada olimpiade adalah soal-soal yang tidak rutin sehingga jika mengharapkan hasil yang optimal tetapi persiapan sedikit, sepertinya tidak masuk akal. Sehingga mempersiapkan diri lebih cepat adalah langkah awla yang baik jika mau jadi yang terbaik. Sebagai latihan awal kita coba mendiskusikan soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten Samosir tahun 2019 berikut ini.
Soal ini juga bisa dijadikan bahan latihan dalam mempersiapkan diri jika ingin ikut ujian masuk seleksi SMA unggulan. Contoh soal yang diujikan seleksi akademik masuk SMA Unggulan seperti Soal Seleksi Akademik Asrama SMAN 2 Balige atau Soal Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul DEL 2018 beberapa soalnya sudah setara dengan soal olimpiade matematika tingkat kabupaten (OSK). Mari berdiskusi😊
1. Enam buah mata uang logam dilempar, peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{57}{64} \\ (B)\ & \dfrac{37}{64} \\ (C)\ & \dfrac{27}{64} \\ (D)\ & \dfrac{7}{64} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$ dan teorema peluang yaitu: Peluang kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$ dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan, $n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
$S$: Enam buah uang logam dilempar maka hasil yang mungkin ada sebanyak $n(S)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}=64$ $E$: Muncul gambar paling sedikit $2$ maka $n(E)=C(6,6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,4)+C(6,3)+C(6,2)$ atau $n(E)=64-C(6,1)-C(6,6)$. $C(6,1)=\dfrac{6!}{1! \cdot (6-1)!}=\dfrac{6 \times 5!}{1! \cdot (5)!}=6$ $C(6,6)=\dfrac{6!}{6! \cdot (6-6)!}=\dfrac{6 !}{6! \cdot (0)!}=1$ Sehingga $n(E)=64-6-1=57$
Peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah $\begin{align} P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\ & = \frac{57}{64} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{57}{64}$
2. Jika $(2x-10)^{x^{2}-36}=1$, banyaknya nilai $x$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit sifat bilangan berpangkat untuk $a \neq 0$ berlaku $a^{0}=1$ dan sifat kedua yaitu Jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$. $\begin{align} (2x-10)^{x^{2}-36} & = 1 \\ (2x-10)^{x^{2}-36} & = (2x-10)^{0} \\ x^{2}-36 & = 0 \\ (x-6)(x+6) & = 0 \\ x=6\ & \text{atau}\ x=-6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
3. Jumlah digit hasil dari $7+77+777+\cdots+\underset{7}{\underbrace{77\cdots777}}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 43 \\ (B)\ & 42 \\ (C)\ & 41 \\ (D)\ & 40 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal ini jika kurang paham bisa dengan sedikit penyederhanaan soal, misal soal hanya "Jumlah digit hasil dari $7+77$ adalah..." $7+77=84$ jumlah digitnya adalah $8+4=12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
7. Jika $(3ax+2y)(2x-by)=cx^{2}-14xy-6y^{2}$ maka nilai dari $10c$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 100 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 140 \\ (D)\ & 160 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} (3ax+2y)(2x-by) & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-3abxy+4xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-(3ab-4)xy-2by^{2} & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \end{align}$ Kesimpulan yang dapat kita ambil dari persamaan di atas adalah:
$-2b=-6$ maka $b=3$
$-(3ab-4)=-14$ maka $ 9a -4 =14$, $a=\dfrac{18}{9}=2$
$6a=c$ maka $c=12$ dan nilai $10c=120$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$
8. Jika $x+1=y$ maka hasil dari $(y-x)^{2017}+(x-y)^{2016}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
pada soal disampaikan bahwa $x+1=y$ sehingga $x-y=-1$ atau $y-x=1$
9. Luas sebuah persegi panjang adalah $3^{20}\ cm^{2}$ dan panjangnya $3^{22}\ cm$, maka lebar persegi panjang adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6} \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{1}{17} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas persegi panjang adalah $L=p \times l$ sehingga
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
10. Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi $a,b,c$. Jika diketahui $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...$cm^{2}$ $\begin{align} (A)\ & 30 \\ (B)\ & 68 \\ (C)\ & 153 \\ (D)\ & 169 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ABC$ adalah segitiga siku-siku dan $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$
dari apa yang kita peroleh di atas $a=13,\ b=5,\ c=12$ dan ABC adalah segitiga siku-siku maka sisi terpanjang adalah sisi miring (hipotenusa) dan sisi yang lain adalah sisi siku. Sehingga luas segitga $ABC$ adalah $\dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$.
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah pencacahan khususnya kombinasi yaitu binom newton. $(a+b)^{n}= \begin{pmatrix} n\\0
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6048$
12. Barisan simbol berulang $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ Urutan ke-2017 akan muncul simbol... $\begin{align} (A)\ & A \\ (B)\ & B \\ (C)\ & T \\ (D)\ & M \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Susunan huruf akan berulang kembali sampai seterusnya $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ dan susunan huruf terdiri dari $25$ huruf. Ini menunjukkan bahwa setiap susunan huruf urutan $1-25$ sama dengan $26-50$, $51-75$ dan seterusnya...
13. Diketahui $\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}}=20$, nilai dari $a$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 38 \\ (B)\ & 37 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mencoba menyelesaikan soal bentuk akar ini, kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh: $\begin{align} \sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}} & = 20 \\ 10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}} & = (20)^{2} \\ 10a+20 & = 400 \\ 10a & = 400-20 \\ a & = \dfrac{380}{10}=38 \end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal sisa pemabgian di atas bisa dikerjakan dengan manual yaitu dengan menghitung langsung (*karena masih memungkinkan) atau menggunakan modulo.
Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah $2+0+1+0=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
15. Diketahui $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2012 \\ (B)\ & 2013 \\ (C)\ & 2014 \\ (D)\ & 2015 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, masalah coba kita sederhanakan hanya $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah
$\begin{align} 10^{5} & = 100.000 \\ 10^{6} & = 1.000.000 \\ 10^{7} & = 10.000.000 \\ (P)\ & =11.100.000 \end{align}$ Jumlah digit $P$ adalah $1+1+1+0=3$ atau ekuivalen dengan $7-5+1=3$.
Sehingga untuk soal $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$ Jumlah digit $P$ adalah $2017-5+1=2013$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2013$
16. Rata-rata usia tiga mahasiswa S2 adalah $26$ tahun, usia mereka tidak lebih darai $30$ tahun. Usia terendah yang mungkin dari mahasiswa tersebut adalah...tahun $\begin{align} (A)\ & 26 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 18 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata untuk tiga mahasiswa kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut: $\begin{align} \overline{x} & = \dfrac{a+b+c}{3} \\ 26 & = \dfrac{a+b+c}{3} \\ 78 & = a+b+c \end{align}$ Jumlah usia ketiga mahasiswa adalah $78$ dan usia mereka tidak lebih dari $30$. Untuk mencari usia terendah yang mungkin maka kita anggap dua mahasiswa usianya adalah $30$ sehingga $30+30+c=78$, $c=18$.
Ujian Nasional berbasis komputer sudah semakin dekat. Salah satu cara untuk melihat bagaimana tingkat pemahaman kita terhadap materi-materi yang sudah dipelajari adalah dengan coba membahas soal-soal simulasi UNBK.
Soal-soal UNBK nanti memang $100\%$ tidak sama dengan soal-soal simulasi, tetapi soal simulasi UNBK ini menjadi tolak ukur dasar dalam mempelajari soal-soal yang akan diujikan pada ujian nasional. Meskipun soal UNBK nanti tidak sama persis dengan soal simulasi berikut ini tetapi aturan-aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal-soal simulasi UNBK ini sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai latihan dalam bernalar.
Kemampuan bernalar dapat naik jika dilatih dengan baik, kemapuan bernalar saat ini sangat jadi perhatian, apalagi karena perkembangan soal UNBK yang akan memakai beberapa soal HOTS (High Order Thinking Skils). Salah satu cara untuk dapat menyelesaikan soal HOTS adalah setidaknya kita sudah bisa memakai teorema-teorema dasar atau aturan dasar dalam mengerjakan soal sederhana atau soal LOTS (Low Order Thinking Skils), dimana untuk menyelesaikan hanya sekedar mensubstitusi variabel-variabel dari rumus-rumus yang ada. Berikut mari kita coba soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket B. Jangan lupa untuk berlatih juga dari soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket C dan soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket A, mari berlatih dan berdiskusi😉😊
1. Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2}-(6-m)x+m=0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batasan nilai $m$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} (A).\ & m \lt -18\ \text{atau}\ m \gt 2 \\ (B).\ & m \lt -18\ \text{atau}\ m \gt -2 \\ (C).\ & m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18 \\ (D).\ & 2 \lt m \lt 18 \\ (E).\ & -18 \lt m \lt -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real beda maka diskriminan lebih dari nol. $\begin{align} 2x^{2}-(6-m)x+m & = 0 \\ 2x^{2}+(-6+m)x+m & = 0 \\ D & \gt 0 \\ b^{2}-4ac & \gt 0 \\ (-6+m)^{2}-4(2)(m)& \gt 0 \\ m^{2}-12m+36-8m & \gt 0 \\ m^{2}-20m+36 & \gt 0 \\ (m-18)(m-2) & \gt 0 \\ [m=18] & [m=2] \\ m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18 \end{align}$ (*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18$
Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu $X$, maka kita perlu ketahui persamaan kurva. Kurva pada gambar melalui titik puncak $(2,9)$ dan sebuah titik sembarang $(0,5)$. Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah: $\begin{align} y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\ 5 & = a\left (0 -2\right)^{2}+9 \\ 5-9 & = 4a \\ \dfrac{-4}{4} & = a \\ -1 & = a \end{align}$
Persamaan kurva $\begin{align} y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\ y & = (-1) \left (x - 2 \right)^{2}+9 \\ y & = (-1) \left (x^{2} - 4x+4 \right)+9 \\ y & = -x^{2} + 4x-4+9 \\ y & = -x^{2} + 4x+5 \\ \end{align}$
Ujian Nasional berbasis komputer sudah semakin dekat. Salah satu cara untuk melihat bagaimana tingkat pemahaman kita terhadap materi-materi yang sudah dipelajari adalah dengan coba membahas soal-soal simulasi UNBK.
Soal-soal UNBK nanti memang $100\%$ tidak sama dengan soal-soal simulasi, tetapi soal simulasi UNBK ini menjadi tolak ukur dasar dalam mempelajari soal-soal yang akan diujikan pada ujian nasional. Meskipun soal UNBK nanti tidak sama persis dengan soal simulasi berikut ini tetapi aturan-aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal-soal simulasi UNBK ini sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai latihan dalam bernalar.
Kemampuan bernalar dapat naik jika dilatih dengan baik, kemapuan bernalar saat ini sangat jadi perhatian, apalagi karena perkembangan soal UNBK yang akan memakai beberapa soal HOTS (High Order Thinking Skils). Salah satu cara untuk dapat menyelesaikan soal HOTS adalah setidaknya kita sudah bisa memakai teorema-teorema dasar atau aturan dasar dalam mengerjakan soal sederhana atau soal LOTS (Low Order Thinking Skils), dimana untuk menyelesaikan hanya sekedar mensubstitusi variabel-variabel dari rumus-rumus yang ada. Berikut mari kita coba soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket A. Jangan lupa untuk berlatih juga dari soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket C dan soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket B, mari berlatih dan berdiskusi😉😊
1. Persamaan kuadrat $x^{2}-2hx+(3h-2)=0$ mempunyai dua akar tidak real. Batas-batas nilai $h$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} (A)\ & h \lt -2\ \text{atau}\ h \gt -1 \\ (B)\ & h \lt -1\ \text{atau}\ h \gt 2 \\ (C)\ & h \lt 1\ \text{atau}\ h \gt 2 \\ (D)\ & 1 \lt h \lt 2 \\ (E)\ & -1 \lt h \lt 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar tidak real maka diskriminan kurang dari nol. $\begin{align} x^{2}-2hx+(3h-2) & = 0 \\ D & \lt 0 \\ b^{2}-4ac & \lt 0 \\ (-2h)^{2}-4(1)(3h-2)& \lt 0 \\ 4h^{2}-12h+8 & \lt 0 \\ h^{2}-3h+2 & \lt 0 \\ (h-1)(h-2) & \lt 0 \\ \left[h=1 \right] & \left[h=2 \right] \\ 1 \lt h \lt 2 \end{align}$ (*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt h \lt 2$
Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu $X$, maka kita perlu ketahui persamaan kurva. Kurva pada gambar melalui titik puncak $(-2,9)$ dan sebuah titik sembarang $(0,5)$. Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah: $\begin{align} y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\ 5 & = a\left (0 -(-2)\right)^{2}+9 \\ 5 & = a\left (0 + 2 \right)^{2}+9 \\ 5-9 & = 4a \\ \dfrac{-4}{4} & = a \\ -1 & = a \end{align}$
Persamaan kurva $\begin{align} y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\ y & = (-1) \left (x -(-2)\right)^{2}+9 \\ y & = (-1) \left (x + 2 \right)^{2}+9 \\ y & = (-1) \left (x^{2} + 4x+4 \right)+9 \\ y & = -x^{2} - 4x-4+9 \\ y & = -x^{2} - 4x+5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (-5,0)\ \text{dan}\ (1,0)$
4. Suatu bangunan akan diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya pembangunan per hari sebesar $\left(4x+\dfrac{650}{x}-40 \right)$ juta rupiah. Biaya minimum pembangunan tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & Rp1.050.000.000,00 \\ (B)\ & Rp925.000.000,00 \\ (C)\ & Rp850.000.000,00 \\ (D)\ & Rp550.000.000,00 \\ (E)\ & Rp425.000.000,00 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Biaya pembangunan per hari sebesar $\left(4x+\dfrac{650}{x}-40 \right)$ dan waktu pengerjaan adalah $x$ hari, sehingga biaya total adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp550.000.000,00$
5. Fungsi $g(x)=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{7}{2}x^{2}+6x+1$ turun pada interval... $\begin{align} (A)\ & -1 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1 \lt x \lt -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1 \lt x \lt \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & -2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2} \\ (E)\ & -2 \lt x \lt \dfrac{3}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol, turunan pertama $g(x)$ adalah $g'(x)=2x^{2}+7x+6$ $ \begin{align} g'(x) & \lt 0 \\ 2x^{2}+7x+6 & \lt 0 \\ (2x+3)(x+2) & \lt 0 \\ \left[x=-\dfrac{3}{2} \right] & \left[x=-2 \right] \\ -2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2} & \end{align}$ (*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2}$
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-2,3)$ dan melalui titik $(-1,3)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+4x+6y+12=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk membentuk persamaan lingkaran setidaknya ada 2 hal dasar harus kita ketahui, yaitu titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Pada soal disampaikan titik pusat lingkaran $P(-2,3)$ dan lingkaran melalui titik $(-1,3)$, artinya jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui lingkaran. $ \begin{align} r & = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+x_{2}-x_{1})^{2}} \\ & =\sqrt{(3-3)^{2}+(-1-(-2))^{2}} \\ & =\sqrt{0+1} \\ & =1 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0$
7. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-15=0$ yang tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+2y+27=0 \\ (B)\ & x+2y-27=0 \\ (C)\ & 2x+y+14=0 \\ (D)\ & 2x-y-14=0 \\ (E)\ & 2x-y-6=0 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang dicari pada soal adalah PGS lingkaran jika diketahui gradiennya karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$.
Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$ maka gradien garis $x+2y-6=0$ ($m=-\frac{1}{2}$) dikali gradien garis singgung lingkaran adalah $-1$.
$m \times\ -\frac{1}{2}=-1$ $m =2$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $ x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$ jika diketahui gradiennya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}}$. Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-15=0$ kita peroleh pusat lingkaran yaitu $(1,-2)$ dan $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - C}=\sqrt{1 + 4 +15}=\sqrt{20}$. $\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ y +2 & = 2(x-1) \pm \sqrt{20} \sqrt{1 + (2)^2} \\ y +2 & = 2x-2 \pm \sqrt{20} \sqrt{5} \\ y & = 2x-4 \pm \sqrt{100} \\ y & = 2x-4 \pm 10 \\ \text{(PGS 1) }:y & = 2x-4+10 \\ 2x-y+6 & = 0 \\ \text{(PGS 2) }:y & = 2x-4-10 \\ 2x-y-14 & = 0 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x-y-14=0$
8. Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}+x+3$ yang tegak lurus dengan garis $x-y=5$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-y-4=0 \\ (B)\ & x-y+4=0 \\ (C)\ & x+y-2=0 \\ (D)\ & x+y+2=0 \\ (E)\ & -x+y-2=0 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Garis singgung kurva tegak lurus dengan garis $x-y=5$ maka gradien garis $x-y=5$ ($m=1$) dikali gradien garis singgung kurva adalah $-1$.
$m \times\ 1=-1$ $m =-1$
Untuk mendapatkan persamaan garis singgung kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+x+3$ gradiennya adalah $m=-1$, sehingga: $\begin{align} y & = x^{2}+x+3 \\ m=y' & = 2x+1 \\ -1 & = 2x+1 \\ -2 & = 2x \\ x & = -1 \\ y & = x^{2}+x+3 \\ y & = (-1)^{2}+(-1)+3 \\ y & = 3 \end{align} $
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(-1,3)$ dengan gradien $m=-1$ $\begin{align} y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-3 & = -1 (x-(-1)) \\ y-3 & = -x-1 \\ y & = -x+2 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y-2=0$
9. Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2x}$ untuk $x \neq 0$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x^{2}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4x^{2}} \\ (D)\ & -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4x^{2}} \\ (E)\ & \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4x^{2}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x^{2}}$
10. Diketahui $f(x)=3x+4$ dan $(gof)(x)=6x+6$. Nilai dari $g^{-1}(0)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informmasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=6x+6$ maka $ \begin{align} g \left (f(x) \right ) & = 6x+6 \\ g \left (3x+4 \right ) & = 2(3x+4)-2 \\ g \left (a \right ) & = 2(a)-2 \end{align} $
Invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$, salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu: $ \begin{align} y & = 2(a)-2 \\ y+2 & = 2(a) \\ \dfrac{y+2}{2} & = a \\ g^{-1}(a) & = \dfrac{a+2}{2} \\ g^{-1}(0) & = \dfrac{0+2}{2}=1 \end{align} $
11. Usia Citra $8$ tahun lebih tua dari usia Salsa. Sedangkan $4$ tahun yang lalu usia Salsa sama dengan dua pertiga dari usia Citra. Usia Salsa sekarang... $\begin{align} (A)\ & 28\ \text{tahun} \\ (B)\ & 25\ \text{tahun} \\ (C)\ & 20\ \text{tahun} \\ (D)\ & 17\ \text{tahun} \\ (E)\ & 14\ \text{tahun} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan umur Citra dan Salsa saat ini adalah $\text{Citra}=C$ dan $\text{Salsa}=S$.
Untuk empat tahun yang lalu umur mereka adalah $(C-4)$ dan $(S-4)$, berlaku: $ \begin{align} \dfrac{2}{3} (C-4) & = (S-4) \\ 2C-8 & = 3S-12 \\ 2C-3S & = -4 \text{(Pers.1)} \end{align} $
Untuk saat ini umur mereka adalah $(C)$ dan $(S)$, berlaku: $ \begin{align} C & = S + 8 \\ C-S & = 8\ \text{(Pers.2)} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ \text{tahun}$
12. Harga $4$ buku dan $4$ penggaris adalah $Rp40.000,00$, sedangkan harga $4$ buku dikurangi harga $4$ penggaris adalah $Rp20.000,00$. Jika harga buku adalah $a$ rupiah dan harga penggaris $b$ rupiah, persamaan matriks yang sesuai untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} -4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix} -4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=-\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=-\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan memakai pemisalan $\text{harga buku}=a$ dan $\text{harga penggaris}=b$, Harga $4$ buku dan $4$ penggaris adalah $Rp40.000,00$ $4a+4b=40.000$
Harga $4$ buku dikurangi $4$ penggaris adalah $Rp20.000,00$ $4a-4b=40.000$
Sistem persamaan diatas jika tuliskan dalam bentuk matriks menjadi: $\begin{align} \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-16-16}\begin{pmatrix} -4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= -\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} -4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 40.000\\ 20.000 \end{pmatrix}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix} \dfrac{4}{15} & -\dfrac{1}{15} \\ -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$
14. Sebuah pabrik memproduksi ban sepeda melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin $A$ untuk mengolah karet mentah menjadi keret siap cetak. Tahap kedua menggunakan mesin $B$ untuk mengolah karet siap cetak menjadi ban. Misalkan $x$ menyatakan jumlah karet mentah dalam satuan $kg$ dan $y$ menyatakan jumlah bahan siap cetak dalam satuan $m^{2}$. Pada tahap pertama, banyak bahan siap cetak dihasilkan mengikuti fungsi $y=f(x)=5x-7$. Pada tahap kedua, jumlah ban yang dihasilkan mengikuti fungsi $g(y)=7y+3$. Jika satu buah ban sepeda seharga $Rp50.000$ dan terdapat $100\ kg$ karet mentah, pendapatan pabrik tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & Rp169.500.000,00 \\ (B)\ & Rp170.550.000,00 \\ (C)\ & Rp170.700.000,00 \\ (D)\ & Rp172.550.000,00 \\ (E)\ & Rp172.700.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Banyak bahan mengikuti fungsi $y=f(x)=5x-7$, untuk $x=100$ maka $y=5(100)-7=493$
Jumlah ban yang dihasilkan mengikuti $g(y)=7y+3$, untuk $y=493$ maka $g(y)=7(493)+3=3.454$
Jumlah bahan yang dihasilkan adalah $3.454$ buah dengan harga satu buah $Rp50.000$ maka pendapatan pabrik adalah $3.454 \times 50.000=172.700.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp172.700.000,00$
15. Diketahui segitiga siku-siku $KLM$ dengan $sin\ L=\dfrac{7}{25}$ ($M$ dan $L$ sudut lancip). Nilai dari $(cosec\ L+tan\ M)(1-sin\ M)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{24}{25} \\ (B)\ & \dfrac{18}{25} \\ (C)\ & \dfrac{7}{25} \\ (D)\ & \dfrac{6}{25} \\ (E)\ & \dfrac{4}{25} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi segitiga siku-siku $KLM$ dapat digambarkan sebagai berikut:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{7}{25}$
16. Seorang anak diminta untuk mengukur tinggi tiang listrik yang ada di depan sekolahnya dengan menggunakan klinometer. Pada posisi berdiri pertama dengan melihat ujung atas tiang listrik, terlihat klinometer menunjukkan sudut $30^{\circ}$. Kemudian dia bergerak mendekati tiang listrik sejauh $18$ meter dan terlihat klinometer menunjuk sudut $45^{\circ}$. Tinggi tiang listrik tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 18\sqrt{3}\ m \\ (B)\ & (18\sqrt{3}-18)\ m \\ (C)\ & (12\sqrt{3}+12)\ m \\ (D)\ & (9\sqrt{3}+9)\ m \\ (E)\ & (9\sqrt{2}+9)\ m \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mempermudah istilah pada gambar, titik-titik sudut kita beri nama sebagai berikut;
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri kita peroleh: $\begin{align} tan\ 45 & = \dfrac{CD}{BC} \\ 1 & = \dfrac{CD}{BC} \\ BC & = CD \\ tan\ 30 & = \dfrac{CD}{AC} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \dfrac{CD}{AC} \\ \dfrac{1}{3}AC \sqrt{3} & = CD \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (9\sqrt{3}+9)\ m $
17. Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $4\ cm$. Sudut anatar $UW$ dan $QV$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 150^{\circ} \\ (B)\ & 135^{\circ} \\ (C)\ & 120^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 60^{\circ} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mempermudah melihat sudut kedua garis pada kubus, kita perhatikan gambar berikut ini;
Dari gambar dapat kita lihat bahwa garis $UW$ dan garis $QV$ adalah garis bersilangan. Untuk menemukan sudut kedua garis bersilangan, salah satu garis harus kita geser sejajar.
Kita pilih garis $QV$ sampai ke $PW$, sehingga sudut $PW$ dan $WU$ adalah sudut yang akan kita cari. Dengan menggunakan bantuan segitiga $PWU$, dimana segitiga $PWU$ adalah segitiga sama sisi $(PW=WU=UP=4\sqrt{2})$ sehingga besar sudut $PW$ dan $WU$ adalah $60^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 60^{\circ}$
18. Balok $ABCD.EFGH$ seperti tampak pada gambar memiliki ukuran $AB=10\ cm$, $BC=4\ cm$, $CG=8\ cm$, $AS=2\ cm$ dan $GM=3\ cm$. Seekor semut berjalan pada permukaan balok dari $S$ menuju makanan yang ada di $M$. Jarak terpendek dari asal semut $(S)$ ke makanan $(M)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 12\ cm \\ (B)\ & (4+\sqrt{41})\ cm \\ (C)\ & (4+\sqrt{89})\ cm \\ (D)\ & (8\sqrt{2}+5)\ cm \\ (E)\ & \sqrt{105}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Lintasan semut adalah pada permukaan balok, sehingga tidak mungkin langsung berjalan dari $S$ ke $M$. Jarak terpendek dapat pada balok dapat kita hitung dengan menggunakan teorema phytagoras, pada balok kita munculkan persegi panjang $MNOP$. Kita perhatikan pada gambar berikut:
Dari gambar dapat kita lihat bahwa jarak terpendek adalah dari $S$ ke $P$ lalu ke $M$.
Jika kita perhatikan luas persegi pertama (terluar) adalah $8 \times 8 =64\ cm^{2}$ Persegi yang kedua $4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} =32\ cm^{2}$ Persegi yang ketiga $4 \times 4 =16\ cm^{2}$ Persegi yang keempat $2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} =8\ cm^{2}$ Persegi yang kelima $2 \times 2 =4\ cm^{2}$
atau bisa pakai deret geometri suku ke-5 dengan $a=64$ dan $r=\dfrac{32}{64}=\dfrac{1}{2}$ adalah: $U_{n}=ar^{n-1}$ $U_{5}=(64)(\dfrac{1}{2})^{5-1}$ $U_{5}=(64)(\dfrac{1}{2})^{4}$ $U_{5}=(64)\left(\dfrac{1}{16} \right)$ $U_{5}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ cm^{2}$
22. Suku ke-8 suatu deret aritmatika adalah $15$ dan jumlah suku ke-2 dengan suku ke-16 adalah $26$. Jumlah $40$ suku pertama deret adalah... $\begin{align} (A)\ & 800 \\ (B)\ & 400 \\ (C)\ & -200 \\ (D)\ & -400 \\ (E)\ & -800 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan deret aritmatika untuk menyelesaikan soal diatas adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a=(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Suku ke-8 deret aritmatika adalah 15, berlaku: $\begin{align} U_{8} & = 15 \\ a+7b & = 15 \end{align}$
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-16 adalah $26$, berlaku: $\begin{align} U_{2} + U_{16} & = 26 \\ a+b + a+15b & = 26 \\ 2a+16b & = 26 \\ a+8b & = 13 \end{align}$
Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah penyelesaian yang diarsir adalah... $\begin{align} (A)\ & 2x+y \leq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\ (B)\ & 2x+y \leq 4;\ x+3y \geq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\ (C)\ & 2x+y \geq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\ (D)\ & 2x+y \leq 4;\ 3x+y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\ (E)\ & 2x+y \geq 4;\ 3x+y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir. Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;
Batas-batas daerah yang memenuhi;
$I:\ 4x+2y=8\ \rightarrow\ 2x+y=4$
$II:\ 2x+6y=12\ \rightarrow\ x+3y=6$
$III:\ y=0$
$IV:\ x=0$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
Titik $(0,0)$ ke $2x+y=4$ diperoleh $ 0 \leq 4 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+y \leq 4 $.
Titik $(0,0)$ ke $x+3y=6$ diperoleh $ 0 \leq 6 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+3y\leq 6 $.
Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+y \leq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
26. Seoarang petani ikan ingin membuat 12 kolam ikan untuk ikan lele dan ikan gurami. Kolam ikan lele memerlukan lahan $20\ m^{2}$ dan kolam ikan gurmai memerlukan lahan $40\ m^{2}$, sedangkan lahan yang tersedia hanya $400\ m^{2}$. Setiap kolam ikan gurami menghasilakn keuntungan $Rp10.000.000,00$ dan setiap kolam ikan lele menghasilakn keuntungan $Rp6.000.000,00$. Keuntungan maksimum yang bisa diperoleh petani tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & Rp72.000.000,00 \\ (B)\ & Rp75.000.000,00 \\ (C)\ & Rp88.000.000,00 \\ (D)\ & Rp104.000.000,00 \\ (E)\ & Rp115.000.000,00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, dengan memisalkan banyak kolam $\text{lele}\ =x$ dan $\text{gurami}\ =y$ maka kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
Jenis Kolam
lahan
banyak
Lele ($x$)
$20$
$x$
Gurami ($y$)
$40$
$y$
Tersedia
$400$
$12$
Keuntungan yang diharapkan tergantung nilai $x$ dan $y$ yaitu $Z=6.000.000x+10.000.000y$.
Dari tabel diatas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya; $\begin{align} 20x+40y & \leq 400 \\ \left( x+2y \leq 20 \right) & \\ x+y & \leq 12 \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=6x+10y$ (dalam jutaan).
titik $(0,0)$ maka $Z=6 (0)+10 (0)=0$
titik $(12,0)$ maka $Z=6 (12)+10 (0)=72 $
titik $(4,8)$ maka $Z=6 (4)+10 (8)=104 $
titik $(4,8)$ kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi garis I dan garis II
titik $(0,10)$ maka $Z=6 (0)+10 (10)=100 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp104.000.000,00$
27. Raras akan membuat kode dengan menyusun dari $5$ huruf dan diikuti oleh $2$ angka berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari huruf penyusun namanya, banyak kode yang dapat dibuat adalah... $\begin{align} (A)\ & 1.800 \\ (B)\ & 2.160 \\ (C)\ & 2.700 \\ (D)\ & 4.320 \\ (E)\ & 5.400 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Huruf penyusun nama raras adalah $5$ huruf dimana dua huruf adalah sama, sehingga untuk menyusunnya kita pakai permutasi dengan ada unsur yang sama. Lalu diikuti oleh $2$ angka yang berasal dari $10$ angka yang ada.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2.700$
28. Sebuah kotak berisi $5$ bola berwwarna merah dan $3$ bola berwarna putih. Dari dalam kotak diambil $2$ bola secara acak. Banyak cara pengambilan agar yang terambil satu bola merah dan satu bola putih adalah... $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 27 \\ (E)\ & 30 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengambil $2$ bola dimana satu bola merah dan satu bola putih, berarti akan dipilih satu bola merah dari $5$ bola dan satu bola putih dari $3$ bola:
29. Dari angka-angka $0,1,3,4,7,\ \text{dan}\ 9$ akan disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan dan kurang dari $500$. Banyak bilangan yang dapat dibuat adalah... $\begin{align} (A)\ & 120 \\ (B)\ & 80 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang akan disusun dari $0,1,3,4,7,\ \text{dan}\ 9$ adalah kurang dari $500$, maka angka ratusan yang mungkin (1,3,4), puluhan (0,1,3,4,7,9) dan satuan (0,1,3,4,7,9).
Banyak bilangan adalah $3 \times 5 \times 4 =60$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60$
30. Kotak I berisi $3$ bola merah dan $3$ bola putih, sedangkan kotak II berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Dari kedua kotak tersebut secara acak masing-masing diambil sebuah bola. Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{40} \\ (B)\ & \dfrac{3}{16} \\ (C)\ & \dfrac{3}{20} \\ (D)\ & \dfrac{1}{5} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Peluang sebuah kejadian $E$ adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
Pada kotak I, merah=3 dan putih=3 Peluang terambil bola merah dari kotak I $\begin{align} P(M_{I}) & = \dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \\ & = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \end{align}$
Pada kotak II, merah=5 dan putih=3 Peluang terambil bola putih dari kotak II $\begin{align} P(P_{II}) & = \dfrac{n(E_{II})}{n(S_{II})} \\ & = \dfrac{3}{8} \end{align}$
Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II $\begin{align} P(E) & =P(M_{I}) \times P(P_{II}) \\ & =\dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \times \dfrac{n(E_{II})}{n(E_{II})} \\ & =\dfrac{3)}{6} \times \dfrac{3}{8} \\ & =\dfrac{3)}{16} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{16}$
31. Diberikan Histogram sebagai berikut:
Gambar ogive dari histogram tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari histogram yang disajikan pada gambar, dapat kita buat ogive positif dan ogive negatif. Untuk membuat ogive kita membutuhkan distribusi frekuensi relatif. Kita sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel distribusi Frekuensi
Kelas
Frekuensi
$f_{k} \leq$
$f_{k} \geq$
$10-19$
$15$
$\leq 9,5: 0$
$\geq 9,5: 120$
$20-29$
$20$
$\leq 19,5: 15$
$\geq 19,5: 105$
$30-39$
$30$
$\leq 29,5: 35$
$\geq 29,5: 85$
$40-49$
$25$
$\leq 39,5: 65$
$\geq 39,5: 55$
$50-59$
$15$
$\leq 49,5: 90$
$\geq 49,5: 30$
$60-69$
$10$
$\leq 59,5: 105$
$\geq 59,5: 15$
$70-79$
$5$
$\leq 69,5: 115$
$\geq 69,5: 5$
$80-89$
$0$
$\leq 79,5: 120$
$\geq 79,5: 0$
Jumlah
$120$
$-$
$-$
Dari tabel diatas ogive yang paling tepat mewakili tabel distribusi frekuensi kurang dari dan lebih dari adalah grafik $(D)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$
32. Perhatikan grafik histogram berikut!
Modus dari data Histogram tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & 23,00 \\ (B)\ & 23,50 \\ (C)\ & 24,33 \\ (D)\ & 24,53 \\ (E)\ & 24,83 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar. Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih indah. Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini; $Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$ dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Dari histogram terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $21-26$ dengan frekuensi $12$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-3 dengan interval $21-26$; $(Tb_{mo} = 21,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=12-8=4)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=12-10=2)$;
33. Tabel berikut menunjukkan data berat badan anak (dalam kg) di suatu puskesmas.
Berat Badan (kg)
Frekuensi
$3-5$
$9$
$6-8$
$7$
$9-11$
$5$
$12-14$
$12$
$15-17$
$3$
$18-20$
$4$
Kuartil atas data berat badan anak tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & 14,85\ kg \\ (B)\ & 14,75\ kg \\ (C)\ & 13,90\ kg \\ (D)\ & 13,85\ kg \\ (E)\ & 13,75\ kg \end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar. Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Data pada tabel dapat kita hitung yaitu total frekuensi adalah $n=40$.
Untuk menentukan letak $Q_{3}$ ada pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(n+1) \right]$
$Q_{3}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(40+1) \right]=30,75$
$Q_{3}$ berada pada data ke-$30,75$ artinya $Q_{3}$ berada pada kelas interval $12-14$ (*9+7+5+12=33)
Tepi bawah kelas $Q_{3}$: $12-14$ $t_{b}= 12 - 0,5 = 11,5 $
Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{3}$, $f_{k}= 9+7+5=21$
34. Indri menggunting karton membentuk sebuah segitiga sembarang. Masing-masing titik sudutnya ditandai dengan huruf $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ Panjang sisi $PQ$ adalah $15\ cm$, panjang sisi $QR$ adalah $20\ cm$, dan besar sudut $Q$ adalah $30^{\circ}$. Luas segitiga $PQR$ yang dibuat oleh Indri adalah.. $\begin{align} (A)\ & 75\ cm^{2} \\ (B)\ & 75 \sqrt{2}\ cm^{2} \\ (C)\ & 75 \sqrt{3}\ cm^{2} \\ (D)\ & 150\ cm^{2} \\ (E)\ & 150 \sqrt{2}\ cm^{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Segitiga yang dibuat Indri adalah segitiga $PQR$ dimana diketahui $PQ=15\ cm$, $QR=20\ cm$, dan besar sudut $Q$ adalah $30^{\circ}$. Luas segitiga $PQR$ dapat kita hitung dengan menggunakan luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan satu sudut, yaitu: $\begin{align} L & = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ Q \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ 30^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = 15 \cdot 5 \\ & = 75 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 75\ cm^{2}$
35. Bahtiar berangkat dari ke kampus pukul $06.30$ setiap pagi. Jika menggunakan mobil dengan kecepatan rata-rata $40$ km/jam, dia tiba di kampus terlambat $15$ menit. Jika menggunakan motor dengan kecepatan rata-rata $60$ km/jam, dia tiba di kampus $5$ menit sebelum perkuliahan dimualai. Perkuliahan di kampus Bahtiar dimuali pukul... $\begin{align} (A)\ & 07.45 \\ (B)\ & 07.30 \\ (C)\ & 07.15 \\ (D)\ & 07.10 \\ (E)\ & 07.00 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kita coba selesaikan dengan memisalkan jarak rumah ke kampus adalah $x$ km dan waktu yang dibutuhkan untuk sampai di kampus tepat waktu adalah $t$ jam.
Dengan kecepatan $40$ km/jam dia tiba di kampus $15$ menit terlambat maka waktu yang dibutuhkan adalah $t+\dfrac{15}{60}$ jam. $\begin{align} v & = \dfrac{s}{t} \\ 40 & = \dfrac{x}{t+\dfrac{15}{60}} \\ 40t+10 & = x \end{align}$
Dengan kecepatan $60$ km/jam dia tiba di kampus $5$ menit lebih cepat maka waktu yang dibutuhkan adalah $t-\dfrac{5}{60}$ jam. $\begin{align} v & = \dfrac{s}{t} \\ 60 & = \dfrac{x}{t-\dfrac{5}{60}} \\ 60t-5 & = x \end{align}$
dari nilai $x$ yang kiat peroleh diatas dapat kita simpulkan $\begin{align} 40t+10 & = 60t-5 \\ 10+5 & = 60t-40t \\ 15 & = 20t \\ t & = \dfrac{15}{20} t & = \dfrac{3}{4} \end{align}$
Waktu tempuh yang dibutuhkan untuk hadir di kampus tepat waktu adalah $t$ jam atau $\dfrac{3}{4}$ jam atau $45$ menit. Sehingga jika berangkat dari rumah pukul $06.30$, kampus masuk $07.15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 07.15$
36. Diketahui barisan geometri dengan $U_{5}=6$ dan $U_{9}=24$. Suku ke-4 barisan tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3} \\ (B)\ & 3\sqrt{3} \\ (C)\ & 3\sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{3} \\ (E)\ & 2\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Catatan tenatang barisan geometri untuk menyelesaikan soal diatas adalah suku ke-n barisan geometri adalah $U_{n}=ar^{n-1}$. $\begin{align} U_{5} & = ar^{5-1} \\ 6 & = ar^{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\sqrt{2}$
37. Persamaan kuadrat $2x^{2}+12x+17=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{\alpha-2}{2}$ dan $\dfrac{\beta-2}{2}$ adalah $ax^{2}+bx+c=0$. Nilai $2a+b+c$ adalah...
Salah satu cara menyusun persamaan kuadrat adalah dengan mengetahui hasil jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat tersebut. Jika sebuah persamaan kuadrat akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat tersebut adalah: $x^{2}-\left( x_{1}+x_{2}\right)x+\left( x_{1} \times x_{2}\right)=0$
Persamaan kuadrat yang baru adalah: $\begin{align} x^{2}-\left( x_{1}+x_{2}\right)x+\left( x_{1} \times x_{2}\right) & = 0 \\ x^{2}-\left( -5 \right)x+\left( \dfrac{29}{8} \right) & = 0 \\ x^{2}+5x+ \dfrac{49}{8} & = 0 \\ 8x^{2}+40x+ 49 & =0 \end{align}$ (*soal ini memiliki banyak jawaban)
$\therefore$ Nilai $2a+b+c$ adalah $2(8)+40+49=105$
38. Diketahui $f(x)=\begin{cases}3x-a,\ x\leq 2 \\ 2x+1,\ x \gt 2 \end{cases}$
Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $a=...$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan defenisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$
Limit kiri $\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)$ $\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-a)=3(2)-a=6-a$
Berdasarkan defenisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka: $\begin{align} 6-a & = 5 \\ 6-5 & = a \\ a & = 1 \end{align}$
$\therefore$ Nilai $a$ adalah $1$
39. Nilai $x$ yang memenuhi fungsi trigonometri $f(x)=\sqrt{2}\ cos\ 3x+1$ memotong sumbu $X$ pada interval $180^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ adalah...
Banyak cara seorang pengunjung dapat masuk dan keluar arena pameran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pintu masuk arena pameran ada $4$ pintu dan terdapat dua gedung di dalam arena pameran, sehingga banyak cara masuk dan keluar gedung ada $2$ cara yaitu lewat geduang A atau $B$. Total banyak cara adalah $4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 3=16+12=28$
$\therefore$ Banyak cara adalah $28$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Jika tertarik untuk menyimpan catatan calon guru di atas dalam bentuk file (.pdf) silahkan di download pada link berikut ini:
Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika SMA IPA 👀 Download
Untuk saran yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Soal Simulasi UNBK Matematika SMA IPA atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Sebagai tambahan, mari kita simak video pengenalan pertidaksamaan bentuk akar;
Sumber https://www.defantri.com/
Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.
